社会人からの物理と数学

趣味ではじめた物理や数学の内容を備忘録としてまとめていきます。

流体力学(前編)を読む 第12回

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本書 第27項 簡単な流れの例

・はじめに
 本記事では複素速度ポテンシャルの例をいくつか挙げます。そしてその関数が表す実際の流れが複素関数の演算を通して明らかにされていく様を見ていきたいと思います。


・本題
 ここでは基本的な複素速度ポテンシャルをいくつか挙げ、その流れを考察する。注意しなければならないのは、前回説明したように複素関数がコーシーリーマンの関係式を満たさなければならないということ。すなわち正則関数(微分可能な複素関数)でなければならないということである。

1.一様な流れ 
 たとえば
\begin{equation}
f=Uz , \hspace{20pt}U \in \mathbb{R} \tag{12-1}
\end{equation}
はもっとも簡単な正則関数である。この流れを見てみよう。複素速度は z微分して
\begin{equation}
\frac{df}{dz}=u-i\mathcal{v}=U
\end{equation}
すなわち
\begin{equation}
u=U, \hspace{10pt} \mathcal{v}=0
\end{equation}
となる。よってこの流れは x 軸に平行な速度 U の一様流を表している。次に(12-1)式を少し変形して
\begin{equation}
f=Ue^{-i\alpha}z, \hspace{20pt} U>0,\alpha \in \mathbb{R} \tag{12-2}
\end{equation}
とすると
\begin{equation}
\frac{df}{dz}=u-i\mathcal{v}=Ue^{-i\alpha}=U(\mathrm{cos}\ \alpha-i\ \mathrm{sin}\ \alpha)
\end{equation}
すなわち
\begin{equation}
u=U\mathrm{cos}\ \alpha, \hspace{10pt} \mathcal{v}=U\mathrm{sin}\ \alpha
\end{equation}
となる。よってこれは x 軸に対して \alpha 傾いた速度 U の一様流となる。ちなみに(12-2)式の正則性については後ほど考察する。

2.角を回る流れ
 今度は以下のような関数を考える。
\begin{equation}
f=Az^n , \hspace{20pt} A>0,\hspace{5pt}n>0 \tag{12-3}
\end{equation}
極座標形式を使うと z=re^{i\theta} だから
\begin{equation}
f=\varPhi+i\varPsi=Ar^ne^{ni\theta}=Ar^n(\mathrm{cos}\ n\theta+i\ \mathrm{sin}\ n\theta)
\end{equation}
これを実部と虚部に分けると
\begin{equation}
\varPhi=Ar^n \mathrm{cos}\ n\theta, \hspace{15pt} \varPsi=Ar^n \mathrm{sin}\ n \theta
\end{equation}
となる。さてこれらが表す流れは一体どのようなものだろうか。流れの様子は流線を見るのが分かりやすい。流線は \varPsi=\text{const} が表す線に等しい*1から、たとえば \varPsi=0 となる流線について見ると
\begin{align}
\sin n\theta&=0\\[6pt]
\theta&=k\frac{\pi}{n}, \hspace{15pt} k \in \mathbb{Z}
\end{align}
で与えられる。これは原点から伸びる放射状の線で xy 平面を 2n 等分する。
f:id:youski:20180826233009j:plain:w400
 詳細は省くが、\varPsi=c を満たす曲線を次々に描いていくと概ね図のような形になる。すなわち角度 \displaystyle \frac{\pi}{n} の角を回るように流れる様子が浮かび上がってくる。式(12-3)の正則性については後ほど考察する。

3.わき出し、吸い込み
\begin{equation}
f=m\ \log z \hspace{20pt} m \in \mathbb{R} \tag{12-4}
\end{equation}
を考える。ここに複素数の対数関数*2が登場したが、演算規則は基本的に実数と変わらない。z=re^{i \theta} とおけば
\begin{equation}
f=m\ \log(re^{i\theta})=m\ (\log r+i\theta)
\end{equation}
実部と虚部をそれぞれ取りだすと
\begin{equation}
\varPhi=m\ \log r,\hspace{20pt} \varPsi=m \theta
\end{equation}
よって、流線は \varPsi=\mathrm{const} から \theta=\mathrm{const} で与えられる。これは原点からの放射線群を表す。
f:id:youski:20180829174835j:plain:w400
 また複素速度は
\begin{equation}
\frac{df}{dz} = \frac{m}{z} =\frac{m}{re^{i\theta}}=\frac{m}{r}e^{-i\theta}=\frac{m}{r}(\cos\theta-i\sin\theta)
\end{equation}
で与えられるので、動径方向の速度成分を \mathcal{v}_r とすれば
\begin{equation}
\mathcal{v}_r=\frac{m}{r}
\end{equation}
と書ける。もし m>0 なら流れは原点から放射状に広がるような向きを持ち、 m<0 ならば原点に収束するような向きを持つ。また m の大きさはそのまま流速に比例する。よって(12-4)式のような流れを強さ m のわき出し(吸い込み)による流れという。

4.渦糸
 今度は係数を虚数に変えて
\begin{equation}
f=i\kappa \log z \hspace{20pt} \kappa \in \mathbb{R} \tag{12-5}
\end{equation}
とする。同じように z=re^{i\theta} とおくと(12-5)式は
\begin{equation}
f=i\kappa \log (re^{i\theta})=i\kappa(\log r + i\theta)=-\kappa \theta+i\kappa \log r
\end{equation}
ここから実部と虚部を取りだすと
\begin{equation}
\varPhi=-\kappa \theta, \hspace{20pt} \varPsi=\kappa \log r
\end{equation}
を得る。今度は流線が r=\mathrm{const} で与えられるから、流線は原点を中心とした同心円群となる。
f:id:youski:20180829200515j:plain:w400
 また同様に複素速度は
\begin{equation}
\frac{df}{dz}=\frac{i\kappa}{z}= \frac{i \kappa}{r}(\cos \theta-i \sin \theta)
\end{equation}
で与えられる。流速については先程よりも少しわかりにくいのでもう少し整理しよう。まず流速 \boldsymbol{\mathcal{v}}(u,\mathcal{v})複素平面上に表すには u+i\mathcal{v} としなければならないので、複素速度の共役*3を取って以下のようにする。
\begin{align}
\overline{\left(\frac{df}{dz}\right)}&=u+i\mathcal{v}=\overline{ \left(\frac{i \kappa}{r}\right)}\ (\overline{\cos \theta-i \sin \theta}) \\[6pt]
&=-i\ \frac{\kappa}{r}\ (\cos \theta + i \sin \theta) =-i e^{i \theta}\ \frac{\kappa}{r}
\end{align}
ここで ie^{i\theta} は反時計回りの円周方向を示す単位ベクトルであるから、その方向の速度成分を \mathcal{v}_\theta とすれば
\begin{equation}
\mathcal{v}_\theta = - \frac{\kappa}{r}
\end{equation}
となる。つまり \kappa>0 なら原点のまわりを時計方向に回る流れを表す。

5.二重わき出し
 わき出しと吸い込みの中心を極限まで接近させたときの流れを考えよう。いま点 z_0=he^{i\alpha} に強さ m のわき出し、原点 z=0 に同じ強さ m の吸い込みがあるとすれば複素速度ポテンシャル f は次のように表現される。
\begin{equation}
f=m \log(z-z_0)-m \log z=m \log \frac{z-z_0}{z}=m \log \left( 1-\frac{z_0}{z} \right)
\end{equation}
次にこの式をテイラー展開して mh \to \mu の極限を考える。このとき h \to 0 で点 z_0 を原点に近づけ、m \to \infty でわき出しと吸い込みの強さを大きくしていくとすると上式は
\begin{equation}
f=-\frac{mz_0}{z} \left \{ 1+\frac{1}{2}\left ( \frac{z_0}{z} \right) + \frac{1}{3}\left ( \frac{z_0}{z} \right)^2 +\ \cdots \right \} \to -\frac{\mu e^{i\alpha}}{z}
\end{equation}
となる。
 さて
\begin{equation}
f=-\frac{\mu e^{i\alpha}}{z} \hspace{20pt} \mu > 0 \tag{12-6}
\end{equation}
は一体どのような流れを表すだろうか。e^{i\alpha}\displaystyle -\frac{\mu}{z}複素平面上で角度 \alpha だけ回転させる作用(補遺参照)に過ぎないので f の形を知るには \displaystyle -\frac{\mu}{z} を調べるだけで十分である。
\begin{equation}
-\frac{\mu}{z}=-\frac{\mu}{z \overline{z}}\ \overline{z}=- \frac{\mu}{x^2+y^2}(x-iy)
\end{equation}
流線を知るには \varPsi を見れば良かったので虚部に注目すると
\begin{align}
\varPsi &= \frac{\mu y}{x^2+y^2}\\[6pt]
x^2+y^2-\frac{\mu}{\varPsi}y&=0\\[6pt]
x^2+\left( y-\frac{\mu}{2\varPsi} \right)^2&=\left( \frac{\mu}{2\varPsi} \right)^2
\end{align}
これは円の方程式に他ならない。円の中心は y 軸上に並んでいて、すべて x 軸に接している。つまり図のような形をしている。
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(12-6)式はこれに e^{i\alpha} を掛けた式となっているので、上の図の円状の流線群を反時計方向に \alpha だけ回転した円群が(12-6)式が表す流れとなる。

補遺1 正則性
 正則関数は次の定理を満たす。

定理1.f_1(z) , f_2(z) が正則であれば
\begin{equation}
f_1(z) \pm f_2(z),\hspace{15pt} f_1(z)f_2(z),\hspace{15pt}f_1(z)/f_2(z)\hspace{10pt}(f_2(z)\neq0)
\end{equation}
も正則である。つまり正則関数の四則演算によって得られる新たな関数はすべて正則である。

定理2.正則関数の正則関数は正則関数である。また正則関数の逆関数は正則関数である。
これが意味するのはたとえば w=f(z)z=g(\zeta) で定義される正則関数があったとき、w=f(g(\zeta))z=f^{-1}(w) はいずれも正則であることを言っている。

 以上の定理を踏まえれば、たとえば f(z)=z が正則なら f(z)=Az^n などが正則であることも明らかである。

補遺2 複素関数の回転
 複素関数の回転については先ほどの説明では不十分というか、自分の理解が足りない部分もあったのでここにまとめたいと思う。そのためにここでは最も簡単な流れである一様流 f(z)=Ue^{-i\alpha}z について考えてみたいと思う。
 まず最初に傾き \alpha の一様流を表す正則関数を改めて次のように定義しよう。
\begin{equation}
w=f(z)=Ue^{-i\alpha}z
\end{equation}
これは z 平面から w 平面へ関数 f を作用させた写像であると解釈できる。ここで \zeta=e^{-i\alpha}z と置き直すことで写像をふたつに分けることを考える。たとえば
\begin{align}
\zeta&=g(z)=e^{-i\alpha}z\\[5pt]
w&=h(\zeta)=U\zeta
\end{align}
などと置き直せば
\begin{equation}
w=f(z)=h(g(z))=U\zeta=Ue^{-i\alpha}z
\end{equation}
となるから、結局 z 平面は g によって \zeta 平面に写像され、それは h によって w 平面に写像されるように分解できる。
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 図に示したように z 平面上で実軸に対して \alpha だけ傾いたベクトルは \zeta 平面上で実軸に重なるように回転されるから、逆に \zeta 平面上で表されるポテンシャルや流線などの模様は z 平面上に表したときには角度 \alpha だけ回転されて映し出されることがわかる。よって \zeta=e^{-i\alpha}z と置換された場合、流れの様子は \zeta 平面に映し出された流れを角度 \alpha だけ回転させて z 平面に映し出したものとなる。
 このことから二重わき出しにおける回転については
\begin{equation}
f=-\frac{\mu}{e^{-i\alpha}z}
\end{equation}
と見たときに \zeta=e^{-i\alpha}z とすることで先ほどと同じように扱える。つまり
\begin{equation}
g=-\frac{\mu}{\zeta}
\end{equation}
などと置いて、第5項で述べたような計算をすれば \zeta 平面上に実軸に接した円群が浮かび上がってくる。これを z 平面に移せば、ただちに角度 \alpha だけ傾いた円群の様子が浮かび上がってくるはずである。

・まとめ
 以上5つの基本的な複素速度ポテンシャルについて見てきました。そして実はこのたった5つの複素速度ポテンシャルを任意に組み合わせることで、あらゆる流れを記述することができます。このことが複素速度ポテンシャルを用いて流れを記述する大きなメリットのひとつだと思います。この事実については次回以降見ていくことにしましょう。
 それからもうひとつはっきりさせなければいけないことがあります。それは複素速度ポテンシャルにわき出しと渦が出てきたことでです。第10回の記事でも述べましたが、速度ポテンシャル \varPhi と流れの関数 \varPsi はそれぞれ渦なし \mathrm{rot}\ \boldsymbol{\mathcal{v}}=0 とわき出しがないこと \mathrm{div}\ \boldsymbol{\mathcal{v}}=0 を要求していたはずです。しかしここでわき出しと渦を表すような複素速度ポテンシャルが出てくるのはどう考えても道理に合いません。そこでこの疑問には次回しっかり向き合っていきたいと思います。