流体力学（前編）を読む 第１１回

本書　第２６項　複素速度ポテンシャル

・はじめに
　今回は前回までにやった速度ポテンシャルと流れの関数が複素関数に繋がっていくところを見ていきたいと思います。そこでまずは複素関数の微分について改めて内容を整理してから、最後に前回までの内容とシンクロさせていきたいと思います。

・本題
　まずは複素関数の微分*1について説明する。いま適当な複素数 に対して複素関数
\begin{equation}
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
\end{equation}
を定義する。これに対して微分の一般的な定義式
\begin{equation}
\lim_{h \to 0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h} \tag{11-1}
\end{equation}
を考え、これを解いていく。ただし とは
\begin{equation}
h=h_1+ih_2 \tag{11-2}
\end{equation}
のように表される複素数で の微小変化量を表すものとする。
　さて、（11-1）式の を展開してみよう。
\begin{align}
f(z+h)&=u(x+h_1,y+h_2)+i\mathcal{v}(x+h_1,y+h_2)\\[6pt]
&=u(x,y)+\frac{\partial u}{\partial x}h_1+\frac{\partial u}{\partial y}h_2\\[6pt]
&+i \left\{ \mathcal{v}(x,y)+\frac{\partial \mathcal{v}}{\partial x}h_1+\frac{\partial \mathcal{v}}{\partial y}h_2 \right\}\\[6pt]
&+o(h_1,h_2)\\[6pt]
&=u(x,y)+i\mathcal{v}(x,y)+\left( \frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial \mathcal{v}}{\partial x}\right)h_1\\[6pt]
&+\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial \mathcal{v}}{\partial y}\right)h_2+o(h_1,h_2)\\[6pt]
&=f(z)+\alpha h_1+\beta h_2+o(h_1,h_2)
\end{align}
ここで式の展開には多変数関数の微分の公式を使い、 は に対して十分に小さい量を意味する。また と は
\begin{equation}
\alpha=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial \mathcal{v}}{\partial x},\hspace{5pt}\beta=\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial \mathcal{v}}{\partial y}
\end{equation}
と置いた。
　いまこのように展開した を使って、再度（11-1）式を考えてみよう。得られた式を（11-1）式に代入すると
\begin{align}
\lim_{h \to 0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}&=\lim_{h \to 0}\left(\frac{\alpha h_1+\beta h_2}{h}+\cancel{\frac{o(h_1,h_2)}{h}}\right)
\end{align}
ここで
\begin{equation}
h_1=\frac{h+\bar{h}}{2},\hspace{10pt} h_2=\frac{h-\bar{h}}{2i} \hspace{15pt}\text{ただし}\hspace{5pt}\bar{h}=h_1-ih_2
\end{equation}
を用いると、上の式はさらに
\begin{align}
&=\lim_{h \to 0}\frac{1}{h}\left( \alpha \frac{h+\bar{h}}{2}+\beta \frac{h-\bar{h}}{2i} \right)\\[6pt]
&=\lim_{h \to 0}\left( \frac{\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2}\frac{\bar{h}}{h}+\frac{\beta}{2i}-\frac{\beta}{2i}\frac{\bar{h}}{h} \right)\\[6pt]
&=\lim_{h \to 0}\left\{ \left( \frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2i} \right)+\left( \frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{2i} \right)\frac{\bar{h}}{h} \right\} \tag{11-3}
\end{align}
のように整理される。
　さて、微分が可能かどうかは（11.3）式の値が一意に定まるかどうかによる。 と は一意に定まっているので を調べれば良い。 を仮に とおくと
\begin{equation}
\lim_{h \to 0}\frac{\bar{h}}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{re^{-i\theta}}{re^{i\theta}}=e^{-2i\theta}
\end{equation}
となり結局 は の自由度があるため一意に定まらない。よって（11-3）式は の項がゼロになれば一意に定まる、すなわち微分可能ということになる。
　これをまた整理してみよう。
\begin{align}
\frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{2i}&=0\\[6pt]
\left( \frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial \mathcal{v}}{\partial x} \right)-\frac{1}{i}\left( \frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial \mathcal{v}}{\partial y}\right) &=0\\[6pt]
\left( \frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial \mathcal{v}}{\partial y}\right)+i \left( \frac{\partial \mathcal{v}}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y} \right)&=0\\[6pt]
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial \mathcal{v}}{\partial y},\hspace{10pt}\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial \mathcal{v}}{\partial x} \tag{11-4}
\end{align}
　ここで最終的に得られた（11-4）式をコーシーリーマンの関係式と呼び、これが複素関数 が微分可能であるための必要十分条件となる。

　さて、複素関数の微分についてコーシーリーマンの関係式という極めて重要な微分の条件式を発見したところで、前回まで学習した速度ポテンシャルと流れの関数について思い出してほしい。２次元の流れを考えたとき、その流速 は速度ポテンシャル と流れの関数 を用いてそれぞれ以下のように表すことができた。
\begin{equation}
u=\frac{\partial \varPhi}{\partial x}=\frac{\partial \varPsi}{\partial y},\hspace{10pt} \mathcal{v}=\frac{\partial \varPhi}{\partial y}=-\frac{\partial \varPsi}{\partial x} \tag{11-5}
\end{equation}
これは先程得られた（11-4）式のコーシーリーマンの関係式の と を と に置き換えたものに等しい（（11-4）式と（11-5）式の と は関係がないことに注意）。すなわち（11-5）式とは
\begin{equation}
f=\varPhi+i\varPsi, \hspace{10pt} z=x+iy　\tag{11-6}
\end{equation}
とおいたときに、 が について微分可能であるための条件式ということになる。
　複素関数が微分可能であることを特に正則であると言い、そのような関数を正則関数という。正則関数については複素関数論で様々な定理等の発見がなされているためこれを武器に関数 の解析を行うことが可能になる。また特にここで定義された関数 のことを複素速度ポテンシャルという。
　では を解析してどうするかと言うと、たとえば について微分すると
\begin{align}
\frac{df}{dz}\frac{\partial z}{\partial x}&=\frac{\partial \varPhi}{\partial x}+i\frac{\partial \varPsi}{\partial x}\\[6pt]
\frac{df}{dz}&=u-i\mathcal{v}
\end{align}
を得るので、要するに を で微分すればその実部と虚部にそれぞれ流速 を得ることができるのである。流速が分かれば流線を描けるので流体の動きを捉えることができたと言ってよい。ここで のことを複素速度と呼ぶ。

・まとめ
　物理の流体力学と数学の複素関数論がこのようにして出合うのは、自分で証明していながら実に不思議というか上手く出来すぎている感じがしてなりません。電磁気学でもそうですが物理の計算をしているのに想像上の数字（Imaginary Number）である虚数 が出てくると最初はなんだか変な感じになります。変な感じにはなるのですが、冷静に見ればここに出てくる虚数 に物理的な意味はまったくありません。あくまで複素平面という２次元の中で虚数は 軸を表しているに過ぎません。複素関数を都合よく利用しているという感じでしょうか。次回からは複素速度ポテンシャルを実際に計算して具体的に見ていきたいと思います。

*1:複素関数の微分　 www.youtube.com